Руслан Хазарзар

Проблема обоснования

Логика — это искусство уверенно совершать ошибки.

Неизвестный автор

Доказательство истинно только для самого себя. Оно не свидетельствует ни о чем, кроме наличия доказательств, а это ничего не доказывает.

Роберт Шекли

Одним из распространенных и одновременно ошибочных аргументов против скептицизма является следующий: скептики критикуют положения позитивной философии исходя из положений некоторой формальной системы; однако уже сама эта формальная система нуждается в основаниях, которые скептики предъявить не могут; а значит, вся критика скептицизма не имеет силы.

Это неверно. Скептицизм, совершая, так сказать, гносеологическую разведку, конвенционально, условно готов принять предложенную позитивной философией систему обоснований и показать тщетность этих обоснований на основе данной же системы. Скептицизм готов и отказаться от этой системы, но считает своим долгом заявить, что вместе с этим отказом изначально обесцениваются и все обоснования позитивной философии.

Вообще, проблема доказательства или, шире, обоснования давно вышла за пределы формальных систем в область метафизики. Курт Хюбнер в своем очерке «Прогресс от мифа, через логос, к науке?» пишет: «Только через сравнительное изучение онтологий, для чего античная метафизика образует необходимую предпосылку, позволяет нам не оставлять без критики наш собственный опыт, понимая, что последнее обоснование всегда может быть только метафизическим». По словам А. А. Ивина и А. Л. Никифорова, «никаких абсолютно надежных и не пересматриваемых со временем оснований и теоретического и тем более практического знания не существует... В современной эпистемологии «классическая» проблема обоснования трансформировалась в задачу исследования того лишенного четких границ многообразия способов обоснования знания, с помощью которого достигается приемлемый в данной области — но никогда не абсолютный — уровень обоснованности»[1]. Попытки игнорировать на протяжении многих веков те скептические тропы, которые были изложены еще Секстом Эмпириком, в конце концов привели к непреодолимым трудностям, которые уже в XX веке вынудили исследователей пересмотреть свои взгляды, и их пересмотр только подтвердил правоту прозрения античных скептиков.

Проблема логики возникает всегда, как только ставится вопрос о правильном мышлении. Еще Аристотель понимал, что любое доказательство в конечном итоге зиждется на недоказуемых началах, одно из которых, как то ни парадоксально, и есть некоторая «правильность» мышления, без которой логика просто невозможна. Кроме того, выводимый тезис всегда опирается на некоторые исходные положения, которые также нуждаются в обоснованиях, и здесь нас поджидает regressus in infinitum, если мы не ограничим его аксиоматически. Понятно, что принцип достаточного основания не может быть абсолютным, а само обоснование теоретического утверждения слагается из целой серии процедур, касающихся не только самого утверждения, но и той теории, составным элементом которой оно является.

Но при этом нужно отдавать себе отчет, что «во всякой достаточно мощной системе истинность предложений системы неопределима в рамках самой системы» (Альфред Тарский)[2]. Т. е. никакая достаточно мощная система не может быть обоснована собственными средствами, а обоснование ее системой высшего уровня снова уводит нас в «дурную бесконечность». Принципиальная невозможность полной формализации знания, о которой говорил еще скептик Агриппа, была в 1931 году подтверждена Куртом Гёделем в теореме о неполноте достаточно богатых формальных систем, в том числе аксиоматической теории множеств и арифметики натуральных чисел. «Ни одной аксиоматической системы, сколь бы остроумно она ни была устроена, не достаточно для доказательства всех математических истин» (Рэймонд Смаллиан)[3]. Чего уж говорить о более сложных системах?..

Тарский сделал важные выводы из теоремы Гёделя и показал, что классическое определение истины должно формулироваться в языке более широком, чем тот язык, для коего оно предназначено. Польский логик также продемонстрировал противоречивость любого семантически замкнутого языка, т. е. языка, включающего в себя, помимо своих выражений, их имена, а также высказывания об истинности формулируемых в нем предложений, поскольку богатства этих средств достаточно для воспроизведения таких парадоксов, как «Лжец». Тарский признал, что, за исключением случая некоторых искусственных языковых систем, обладающих чрезвычайно бедными выразительными средствами, универсальный критерий истины невозможен. (Хотя этот результат можно было обосновать, исходя только из понимания истины как чего-то не имеющего оснований, т. е. абсолютного.) Показательно, что вывод этот был установлен при помощи интуитивного понятия истины как соответствия фактам, для коего у нас нет универсального критерия[4].

Тарский, однако, попытался преодолеть проблемы, связанные с индуктивными выводами, и предложил свою теорию истины как соответствия высказываний фактам. Он уточнил классическое понятие истины с помощью технических средств логической семантики. Тарский исходит из классического представления об истине, согласно которому понятие истинно выражает свойство нашего знания, а не факта действительности. Высказывание считается истинным тогда и только тогда, когда оно утверждает, что дела обстоят так-то и так-то, и дела действительно обстоят именно так. Подобного рода определения истинности отдельных высказываний Тарский обобщает в виде следующей схемы: "P" истинно тогда и только тогда, когда P. Здесь четко различаются стоящее справа высказывание, обозначающее определенную ситуацию в действительности, и стоящее слева имя данного высказывания. Общее определение истины должно быть таким, чтобы ему соответствовали все конкретные случаи применения понятия истинно, представленные приведенной схемой.

Но вместе с тем, как было сказано выше, Тарский показал, что для обычного естественного языка задача построения общего определения истины не может быть решена. Одной из причин этого является то обстоятельство, что в естественном языке имеются предложения, утверждающие собственную ложность (напр., предложения типа «Я лгу»). Попытка применить к ним понятие истинно согласно приведенной схеме ведет к противоречию. Тарский полагал, что это противоречие возникает благодаря семантической замкнутости естественного языка, т. е. благодаря тому, что в этот язык входят и предложения, и имена этих предложений, и семантические предикаты. Для устранения подобных парадоксов Тарский считал необходимым разделить язык на две части — объектный язык и метаязык. Определение истины должно формулироваться в метаязыке. В этом случае парадоксов не возникает. Однако мы вновь сталкиваемся с проблемой индукции, ибо перевод высказывания P в метаязык потребует семантического обоснования уже в мета-метаязыке, и так до бесконечности.

Таким образом, в логике принято говорить не о доказуемости вообще, а о доказуемости в рамках данной конкретной системы или теории (S). При этом допускаются доказательства, относящиеся к разным системам, т. е. определяемые разными наборами аксиом и средствами вывода. Напр., доказательство в интуиционистской логике и опирающейся на нее математике существенно отличается от доказательства в логике классической и основывающейся на ней математике. В классическом доказательстве можно использовать, в частности, закон исключенного третьего, закон снятия двойного отрицания и ряд других логических законов, отсутствующих в интуиционистской логике.

Кроме того, не существует единого понятия логического следования. Логических систем, претендующих на определение этого понятия, в принципе существует бесконечно много. Ни одно из имеющихся в современной логике определений логического закона и логического следования не свободно от критики и от того, что принято называть «парадоксами логического следования». «Логистика, — остроумно заметил Анри Пуанкаре, — не бесплодна, она порождает антиномии»[5].

Казалось бы, образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех науках, является доказательство математическое. Однако в наше время сами математики разбились на враждующие группировки, каждая из которых придерживается своего мнения не только по поводу того, что считать доказательством, но и по поводу того, что, собственно, следует считать математикой — логицизм, интуиционизм, формализм или теорию множеств[6]. Кроме того, в 1944 году выдающийся американский математик Рэймонд Луис Уайлдер выступил с вполне обоснованной статьей[7], в которой утверждал, что доказательство «есть не что иное, как проверка продуктов нашей интуиции (what we call «proof» in mathematics is nothing but a testing of the products of our intuition). Очевидно, что мы не обладали и, вероятно, никогда не будем обладать критерием доказательства, не зависящим ни от времени, ни от того, чтó требуется доказать, ни от тех, кто использует критерий, будь то отдельное лицо или школа мышления. В этих условиях самое разумное, кажется, признать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства»[8]. Таким образом, проблема обоснования настолько сложна, что можно смело согласиться с высказыванием Роберта Шекли, вложившего его в уста героя своего романа «Обмен разумов»: «Доказательство истинно только для самого себя; оно не свидетельствует ни о чем, кроме наличия доказательств, а это ничего не доказывает».

Не случайно наибольшие неприятности скептицизм доставил именно рациональной философии, пытающейся обосновать свои положения. Он показал, что любые основания лежат за рамками рационализма, а значит, ни одна система не может считаться более рациональной, нежели другая. Восторжествовал тезис Пиррона: ничто не есть в большей степени одно, чем другое (οὐ γὰρ μᾶλλον τόδε ἢ τόδε εἶναι ἕκαστον) (Diogenes Laertius. Vitae philosophorum, IX, 61). Философам-иррационалистам (Шопенгауэр, Кьеркегор, Ницше, представители неклассического алогизма) скептицизм уделяет меньше внимания, не принимая или просто игнорируя их не имеющие рациональных обоснований постулаты.

[1] Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике. — М.: Туманит, Владос, 1997. — Стр. 231.

[2] Цит. по: Смаллиан Р. Как же называется эта книга? — M.: Мир, 1981. — Стр. 236.

[3] Смаллиан Р. Как же называется эта книга? — M.: Мир, 1981. — Стр. 235.

[4] Поппер К. Логика и рост научного знания. — М.: Прогресс, 1983. — Стр. 337.

[5] Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1983. — Стр. 400.

[6] Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир, 1984. — Стр. 357.

[7] Wilder R. L. The Nature of Mathematical Proof. // The American Mathematical Monthly, 1944 (51). P. 309–323.

[8] Wilder R. L. The Nature of Mathematical Proof. // The American Mathematical Monthly, 1944 (51). P. 319.